応力テンソルの座標変換#
この記事では、応力テンソルの座標変換の方法についてレビューします。 Z軸まわりに要素座標系を \(\theta\) だけ回転する場合、回転後の応力テンソルは以下の式で表されます。
\[\begin{split}
\begin{bmatrix}+\cos \theta &-\sin \theta &0\\+\sin \theta &+\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}^T\begin{bmatrix}\sigma _{xx}&\tau _{xy}&\tau _{zx}\\\tau _{xy}&\sigma _{yy}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{yz}&\sigma _{zz}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}+\cos \theta &-\sin \theta &0\\+\sin \theta &+\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}
\end{split}\]
行列積を計算すると以下の応力テンソルを得ることができます。
\[\begin{split}
\begin{bmatrix}+\sigma _{xx}\cos \theta \cos \theta +\tau _{xy}\sin \theta \cos \theta +\tau _{xy}\sin \theta \cos \theta +\sigma _{yy}\sin \theta \sin \theta &-\sigma _{xx}\sin \theta \cos \theta -\tau _{xy}\sin \theta \sin \theta +\tau _{xy}\cos \theta \cos \theta +\sigma _{yy}\sin \theta \cos \theta &+\tau _{zx}\cos \theta +\tau _{yz}\sin \theta \\-\sigma _{xx}\sin \theta \cos \theta +\tau _{xy}\cos \theta \cos \theta -\tau _{xy}\sin \theta \sin \theta +\sigma _{yy}\sin \theta \cos \theta &+\sigma _{xx}\sin \theta \sin \theta -\tau _{xy}\sin \theta \cos \theta -\tau _{xy}\sin \theta \cos \theta +\sigma _{yy}\cos \theta \cos \theta &-\tau _{zx}\sin \theta +\tau _{yz}\cos \theta \\+\tau _{zx}\cos \theta +\tau _{yz}\sin \theta &-\tau _{zx}\sin \theta +\tau _{yz}\cos \theta &\sigma _{zz}\end{bmatrix}
\end{split}\]
Y軸まわりに要素座標系を \(\theta\) だけ回転する場合、回転後の応力テンソルは以下の式で表されます。
\[\begin{split}
\begin{bmatrix}+\cos \theta &0&+\sin \theta \\0&1&0\\-\sin \theta &0&+\cos \theta \end{bmatrix}^T\begin{bmatrix}\sigma _{xx}&\tau _{xy}&\tau _{zx}\\\tau _{xy}&\sigma _{yy}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{yz}&\sigma _{zz}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}+\cos \theta &0&+\sin \theta \\0&1&0\\-\sin \theta &0&+\cos \theta \end{bmatrix}
\end{split}\]
行列積を計算すると以下の応力テンソルを得ることができます。
\[\begin{split}
\begin{bmatrix}+\sigma _{xx}\cos \theta \cos \theta -\tau _{zx}\sin \theta \cos \theta -\tau _{zx}\cos \theta \text{sin}\theta +\sigma _{zz}\sin \theta \sin \theta &+\tau _{xy}\cos \theta -\tau _{yz}\sin \theta &+\sigma _{xx}\cos \theta \sin \theta -\tau _{zx}\sin \theta \sin \theta +\tau _{zx}\cos \theta \cos \theta -\sigma _{zz}\sin \theta \cos \theta \\+\tau _{xy}\cos \theta -\tau _{yz}\sin \theta &\sigma _{yy}&+\tau _{xy}\sin \theta +\tau _{yz}\cos \theta \\+\sigma _{xx}\sin \theta \cos \theta +\tau _{zx}\cos \theta \cos \theta -\tau _{zx}\sin \theta \sin \theta -\sigma _{zz}\cos \theta \sin \theta &+\tau _{xy}\sin \theta +\tau _{yz}\cos \theta &+\tau _{zx}\sin \theta \cos \theta +\sigma _{zz}\cos \theta \cos \theta \end{bmatrix}
\end{split}\]